ζ

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ΔΕ//ΒΓ.

πειράματα

Μετρήστε τις αποστάσεις των τμημάτων
τα οποία ορίζουν τα σημεία Δ και Ε

οδηγίες

Χρησιμοποιήστε το εργαλείο

Μετρήστε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ
και τις γωνίες που ορίζει η ευθεία ΔΕ
με τις πλευρές του τριγώνου

οδηγίες

Χρησιμοποιήστε το εργαλείο Γωνία.
παράδειγμα: Επιλέξτε με τη σειρά 
Ε,Δ,Α για τη μέτρηση της κυρτής 
γωνίας ΕΔΑ

Διερευνήστε τι αλλάζει και τι παραμένει σταθερό 
καθώς μετακινείται το σημείο Δ

Με βάση τις παρατηρήσεις σας από 
το προηγούμενο πείραμα διατυπώστε και
αποδείξτε ένα συμπέρασμα.

βοήθεια

Από την κορυφή Α φέρουμε ευθεία ε//ΒΓ 
και εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Θαλή 
με παράλληλες ευθείες τις ε, ΔΕ, ΒΓ και 
τέμνουσες τις ΑΒ και ΑΓ

Καθώς μετακινείτε το σημείο Δ συγκρίνετε το
λόγο ΔΕ/ΒΓ με τους λόγους των τμημάτων 
ΑΔ/ΑΒ και ΑΕ/ΑΓ. Τι παρατηρείτε;

Τι παρατηρείτε  για τον λόγο ΔΕ/ΒΓ 
όταν το Δ είναι μέσο της ΑΒ;

Δ

Ε

Μετακινήστε τα σημεία Δ, Ε έτσι ώστε οι λόγοι
ΔΑ/ΔΒ και ΕΑ/ΕΓ να γίνουν ίσοι.
Τι παρατηρείτε όσον αφορά τη σχετική θέση των 
ΔΕ και ΒΓ;

βοήθεια

Από το σημείο Ε φέρουμε ευθεία η παράλληλη
προς την ΑΒ η οποία τέμνει την ΒΓ στο Ζ.
Εφαρμόστε το Θεώρημα του Θαλή για τις 
δύο ομάδες παράλληλων ευθειών.
Δικαιολογήστε γιατι το τετράπλευρο ΔΕΖΒ 
είναι παραλληλόγραμμο

Ζ

Με βάση τις παρατηρήσεις σας από 
το  πείραμα 6 διατυπώστε και
αποδείξτε ένα συμπέρασμα.

βοήθεια

Γ = (40, -10)
Β = (15, -5)
ΒΓ = Distance(Β, Γ)
Α = (15, 15)
t1, γ, α, β = Polygon(Α, Β, Γ)
Δ = Point(t1)
f = Line(Δ, α)
Ε = Intersect(f, β)
a = true
πείραμα = 5 (slider from 1 to 8, step 1)
b = false
Ζ_1 = (-2.959238565149685, -4.768482269686832)
Η = (-4.281545118986159, -4.644419364777761)
απόστασηΔΒ = Distance(Δ, Β)
περίμετροςt1 = Perimeter(t1)
Σημείοt1 = PointIn(t1)
απόστασηΔΑ = Distance(Δ, Α)
c = Distance(Δ, Β)
d = Distance(Δ, Α)
απόστασηΑΕ = Distance(Α, Ε)
απόστασηΕΓ = Distance(Ε, Γ)
e = false
Θ = (-4.436433333289043, -6.19643721222155)
Ι = (-1.6666931430277687, -6.159507343018069)
απόστασηΒΔ = Distance(Β, Δ)
g = Distance(Δ, Α)
h = Distance(Α, Ε)
i = Distance(Ε, Γ)
ΔΑ = Distance(Δ, Α)
ΔΒ = Distance(Δ, Β)
logos1: ΔΑ / ΔΒ
ΕΑ = Distance(Ε, Α)
ΕΓ = Distance(Ε, Γ)
logos2: ΕΑ / ΕΓ
κείμενο7: "\frac{ΔΑ}{ΔΒ}=" + (LaTeX[logos1]) + "\\\\
\frac{EΑ}{ΕΓ}=" + (LaTeX[logos2]) + ""
j = false
ε = Line(Α, α)
Κ = (-4.554110396318454, -5.209503907133071)
Λ = (-2.0903943050598968, -5.209503907133071)
Μ = (-4.683779664279433, -4.859396883638427)
Ν = (-2.5442367429233155, -4.8204961032501386)
Ξ = (-1.2292135593520983, -6.857354314455956)
Ο = (1.2810066619255083, -6.830369756645285)
k = Distance(Δ, Β)
l = Distance(Δ, Α)
m = Distance(Α, Ε)
n = Distance(Ε, Γ)
p = Segment(Δ, Ε)
o = Distance(Β, Δ)
q = Distance(Δ, Α)
r = Distance(Α, Ε)
s = Distance(Ε, Γ)
ΔΕ = Distance(Δ, Ε)
logos3: ΔΕ / ΒΓ
ΑΔ = Distance(Α, Δ)
ΑΒ = Distance(Α, Β)
logos4: ΑΔ / ΑΒ
ΑΕ = Distance(Α, Ε)
ΑΓ = Distance(Α, Γ)
logos5: ΑΕ / ΑΓ
Α_1 = (16.111516063728416, -3.5192974589806187)
Β_1 = (11.111516063728416, -18.11929745898062)
Γ_1 = (31.111516063728416, -23.11929745898062)
t1_1, γ_1, α_1, β_1 = Polygon(Α_1, Β_1, Γ_1)
Δ_1 = Point(t1_1)
f_1 = Line(Δ_1, α_1)
Ε_1 = Intersect(f_1, β_1)
απόστασηΔΒ_1 = Distance(Δ_1, Β_1)
περίμετροςt1_1 = Perimeter(t1_1)
Σημείοt1_1 = PointIn(t1_1)
απόστασηΔΑ_1 = Distance(Δ_1, Α_1)
c_1 = Distance(Δ_1, Β_1)
d_1 = Distance(Δ_1, Α_1)
απόστασηΑΕ_1 = Distance(Α_1, Ε_1)
απόστασηΕΓ_1 = Distance(Ε_1, Γ_1)
απόστασηΒΔ_1 = Distance(Β_1, Δ_1)
g_1 = Distance(Δ_1, Α_1)
h_1 = Distance(Α_1, Ε_1)
i_1 = Distance(Ε_1, Γ_1)
ΔΑ_1 = Distance(Δ_1, Α_1)
ΔΒ_1 = Distance(Δ_1, Β_1)
logos1_1: ΔΑ_1 / ΔΒ_1
ΕΑ_1 = Distance(Ε_1, Α_1)
ΕΓ_1 = Distance(Ε_1, Γ_1)
logos2_1: ΕΑ_1 / ΕΓ_1
κείμενο7_1: "\frac{ΔΑ}{ΔΒ}=" + (LaTeX[logos1_1]) + "\\\\
\frac{EΑ}{ΕΓ}=" + (LaTeX[logos2_1]) + ""
ε_1 = Line(Α_1, α_1)
k_1 = Distance(Δ_1, Β_1)
l_1 = Distance(Δ_1, Α_1)
m_1 = Distance(Α_1, Ε_1)
n_1 = Distance(Ε_1, Γ_1)
p_1 = Segment(Δ_1, Ε_1)
o_1 = Distance(Β_1, Δ_1)
q_1 = Distance(Δ_1, Α_1)
r_1 = Distance(Α_1, Ε_1)
s_1 = Distance(Ε_1, Γ_1)
δ_1 = Angle(Ε_1, Δ_1, Α_1)
ζ_1 = Angle(Γ_1, Β_1, Α_1)
η_1 = Angle(Α_1, Ε_1, Δ_1)
θ_1 = Angle(Α_1, Γ_1, Β_1)
ι_1 = Angle(Β_1, Α_1, Γ_1)
κείμενο11: "\frac{ΑΔ}{ΑΒ}=" + (LaTeX[logos4]) + " \\
\frac{AE}{AΓ}=" + (LaTeX[logos5]) + "\\
\frac{ΔΕ}{ΒΓ}=" + (LaTeX[logos3]) + "\\"
Α_2 = (11.87513954527022, -3.3061555832149683)
Β_2 = (6.875139545270221, -17.906155583214968)
Γ_2 = (26.875139545270223, -22.906155583214968)
t1_2, γ_2, α_2, β_2 = Polygon(Α_2, Β_2, Γ_2)
Δ_2 = Point(t1_2)
f_2 = Line(Δ_2, α_2)
Ε_2 = Intersect(f_2, β_2)
απόστασηΔΒ_2 = Distance(Δ_2, Β_2)
περίμετροςt1_2 = Perimeter(t1_2)
Σημείοt1_2 = PointIn(t1_2)
απόστασηΔΑ_2 = Distance(Δ_2, Α_2)
c_1 = Distance(Δ_2, Β_2)
d_2 = Distance(Δ_2, Α_2)
απόστασηΑΕ_2 = Distance(Α_2, Ε_2)
απόστασηΕΓ_2 = Distance(Ε_2, Γ_2)
απόστασηΒΔ_2 = Distance(Β_2, Δ_2)
g_2 = Distance(Δ_2, Α_2)
h_2 = Distance(Α_2, Ε_2)
i_2 = Distance(Ε_2, Γ_2)
ΔΑ_2 = Distance(Δ_2, Α_2)
ΔΒ_2 = Distance(Δ_2, Β_2)
logos1_2: ΔΑ_2 / ΔΒ_2
ΕΑ_2 = Distance(Ε_2, Α_2)
ΕΓ_2 = Distance(Ε_2, Γ_2)
logos2_2: ΕΑ_2 / ΕΓ_2
κείμενο7_2: "\frac{ΔΑ}{ΔΒ}=" + (LaTeX[logos1_2]) + "\\\\
\frac{EΑ}{ΕΓ}=" + (LaTeX[logos2_2]) + ""
ε_2 = Line(Α_2, α_2)
k_2 = Distance(Δ_2, Β_2)
l_2 = Distance(Δ_2, Α_2)
m_2 = Distance(Α_2, Ε_2)
n_2 = Distance(Ε_2, Γ_2)
p_2 = Segment(Δ_2, Ε_2)
o_2 = Distance(Β_2, Δ_2)
q_2 = Distance(Δ_2, Α_2)
r_2 = Distance(Α_2, Ε_2)
s_2 = Distance(Ε_2, Γ_2)
δ_2 = Angle(Ε_2, Δ_2, Α_2)
ζ_2 = Angle(Γ_2, Β_2, Α_2)
η_2 = Angle(Α_2, Ε_2, Δ_2)
θ_2 = Angle(Α_2, Γ_2, Β_2)
ι_2 = Angle(Β_2, Α_2, Γ_2)
Α_3 = (-10.765619675161014, -1.8624168408746735)
Β_3 = (-15.765619675161014, -16.462416840874674)
Γ_3 = (4.2343803248389875, -21.462416840874674)
t1_3, γ_3, α_3, β_3 = Polygon(Α_3, Β_3, Γ_3)
Δ_3 = Point(t1_3)
f_3 = Line(Δ_3, α_3)
Ε_3 = Intersect(f_3, β_3)
απόστασηΔΒ_3 = Distance(Δ_3, Β_3)
περίμετροςt1_3 = Perimeter(t1_3)
Σημείοt1_3 = PointIn(t1_3)
απόστασηΔΑ_3 = Distance(Δ_3, Α_3)
c_1 = Distance(Δ_3, Β_3)
d_3 = Distance(Δ_3, Α_3)
απόστασηΑΕ_3 = Distance(Α_3, Ε_3)
απόστασηΕΓ_3 = Distance(Ε_3, Γ_3)
απόστασηΒΔ_3 = Distance(Β_3, Δ_3)
g_3 = Distance(Δ_3, Α_3)
h_3 = Distance(Α_3, Ε_3)
i_3 = Distance(Ε_3, Γ_3)
ΔΑ_3 = Distance(Δ_3, Α_3)
ΔΒ_3 = Distance(Δ_3, Β_3)
logos1_3: ΔΑ_3 / ΔΒ_3
ΕΑ_3 = Distance(Ε_3, Α_3)
ΕΓ_3 = Distance(Ε_3, Γ_3)
logos2_3: ΕΑ_3 / ΕΓ_3
κείμενο7_3: "\frac{ΔΑ}{ΔΒ}=" + (LaTeX[logos1_3]) + "\\\\
\frac{EΑ}{ΕΓ}=" + (LaTeX[logos2_3]) + ""
ε_3 = Line(Α_3, α_3)
k_3 = Distance(Δ_3, Β_3)
l_3 = Distance(Δ_3, Α_3)
m_3 = Distance(Α_3, Ε_3)
n_3 = Distance(Ε_3, Γ_3)
p_3 = Segment(Δ_3, Ε_3)
o_3 = Distance(Β_3, Δ_3)
q_3 = Distance(Δ_3, Α_3)
r_3 = Distance(Α_3, Ε_3)
s_3 = Distance(Ε_3, Γ_3)
δ_3 = Angle(Ε_3, Δ_3, Α_3)
ζ_3 = Angle(Γ_3, Β_3, Α_3)
η_3 = Angle(Α_3, Ε_3, Δ_3)
θ_3 = Angle(Α_3, Γ_3, Β_3)
ι_3 = Angle(Β_3, Α_3, Γ_3)
κείμενο13: "\frac{ΔΕ}{ΒΓ}
=" + (LaTeX[logos5]) + ""
Ζ = Point(γ)
Π = Point(β)
t = Line(Ζ, Π)
ΖΑ = Distance(Ζ, Α)
ΖΒ = Distance(Ζ, Β)
logos6: ΖΑ / ΖΒ
ΠΑ = Distance(Π, Α)
ΠΓ = Distance(Π, Γ)
logos7: ΠΑ / ΠΓ
u = true
δ = Angle(Γ, Β, Ζ)
ζ = Angle(Π, Ζ, Α)
η_4 = Angle(Α, Π, Ζ)
κείμενο14: "\frac{ΔΑ}{ΔΒ}=" + (LaTeX[logos6]) + "\\
\frac{EA}{EΓ}=" + (LaTeX[logos7]) + ""
θ = Angle(Π, Γ, Β)
ι: round(ζ)
κ: round(ζ, 1)
απόστασηΖΒ = Distance(Ζ, Β)
απόστασηΖΑ = Distance(Ζ, Α)
η = Line(Ε, γ)
Ρ = Intersect(η, α)
v = false
κείμενο18 = Text(δ, Ζ + (0.1, 0.1), true)
κείμενο19 = Text(θ, Π + (-5, 2), true)