Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

 Η ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΗΜΕΙΟ,  ΕΥΘΕΙΑ,  ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ, ΗΜΙΕΥΘΕΙΑ, ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΕΣ ΗΜΙΕΥΘΕΙΕΣ, ΕΠΙΠΕΔΟ, ΗΜΙΕΠΙΠΕΔΟ.

ΣΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ ΑΥΤΗ  ZHTEITAI ΝΑ ΒΡΕΙΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΣΥΓΚΡΙΝΕΤΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ  ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΩΝ ΕΝΟΣ ΚΥΡΤΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ

Η ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΩΝΙΑ, ΓΡΑΜΜΗ, ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΧΗΜΑΤΑ, ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΣΧΗΜΑΤΑ,  ΙΣΑ ΣΧΗΜΑΤΑ.

Η ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΤΗ ΜΕΤΡΗΣΗ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ, ΣΤΗΝ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΕΣΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

Η ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΤΗ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ

Η ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ ΑΥΤΗ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΤΗ ΜΕΤΡΗΣΗ,ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΓΩΝΙΩΝ ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΔΙΧΟΤΟΜΟ ΓΩΝΙΑΣ

Σε αυτό το μικροπείραμα παρουσιάζεται η χαρακτηριστική ιδιότητα της διχοτόμου μιας γωνίας

                                                           που είναι η εξής:

ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΕΧΟΥΝ ΤΗΝ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΝΑ  ΙΣΑΠΕΧΟΥΝ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΔΙΧΟΤΟΜΟ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ

Η ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ ΑΥΤΗ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΤΑ ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

ΓΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΕΙ ΜΙΑ ΜΗ ΚΥΡΤΗ ΓΩΝΙΑ ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΕΙ Η ΚΥΡΤΗ ΓΩΝΙΑ ΟΠΟΤΕ  Η ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ ( ΜΕ ΤΟ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ ΑΝΟΙΓΜΑ ) ΕΙΝΑΙ Η ΜΗ ΚΥΡΤΗ ΓΩΝΙΑ.

ΤΟ ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ ΚΥΡΤΗΣ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΝ ΑΦΑΙΡΕΘΕΙ ΤΟ ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ ΜΗ ΚΥΡΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ΑΠΟ ΤΙΣ  360⁰ 

Η άσκηση εκτελείται on line και  αναφέρεται στη σωστή χρήση γεωμετρικών οργάνων. Σε περίπτωση λανθασμένης απάντησης δίνεται η ευκαιρία επανέλεγχου και σε περίπτωση σωστής απάντησης δίνεται και το % ποσοστό βαμολογίας για τη συγκεκριμένη ερώτηση

Η ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΤΙΣ ΕΦΕΞΗΣ , ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ  ΓΩΝΙΕΣ ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ 

Η ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ, ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗΝ ΓΩΝΙΕΣ

Η ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΤΙΣ ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Η ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΤΗΝ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ , ΣΤΗΝ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ ΚΑΙ ΣΤΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΕΣΟΠΑΡΑΛΛΗΛΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Σε αυτό το μικροπείραμα δείχνεται παραστατικά ότι οι διχοτόμοι 2 εφεξής και συμπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν γωνία 

Σε αυτό το μικροπείραμα ζητείται να εντοπίσετε τη κατάλληλη θέση σημείου στο εσωτερικό του τετραγώνου ούτως ώστε να απέχει εξίσου από  τις πλευρές του τετραγώνου. 

Σε αυτό το μικροπείραμα σας ζητά να βρείτε την απόσταση σημείου από ευθεία και στη συνέχεια παίρνοντας 1 τυχαίο σημείο πάνω στη διχοτόμο μιας γωνίας να διαπιστώσετε ότι απέχει εξίσου από τις πλευρές της γωνίας.

ΣΕ ΑΥΤΗ ΤΗ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟ ΑΝΑΦΕΡΟΝΤΑΙ Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΡΗΤΩΝ, ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΡΗΤΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΟΛΛΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ

ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΜΙΚΡΟΠΕΙΡΑΜΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΞΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΣΚΑΛΑΣ ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΝΑ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΤΕ ΟΤΙ ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΤΙΚΩΝ ΡΗΤΩΝ ΕΙΝΑΙ ΘΕΤΙΚΟΣ ΡΗΤΟΣ ΚΑΙ ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ ΡΗΤΩΝ ΕΙΝΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΣ ΡΗΤΟΣ. ΚΑΘΕ ΦΟΡΑ ΠΟΥ ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΚΑΛΟΠΑΤΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΥΨΟΣ ΠΟΥ ΑΝΕΒΑΙΝΕΙ Ή ΚΑΤΕΒΑΙΝΕΙ ΕΝΑ ΣΚΑΛΟΠΑΤΙ ΥΠΟΛΟΓΙΖΕΤΑΙ Η ΥΨΟΜΕΤΡΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΑ ΑΠΟ ΤΟ ΚΑΤΩΤΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΣ ΣΚΑΛΑΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ ΑΝΩΤΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΣ ΣΚΑΛΑΣ ΩΣ ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΤΩΝ ΣΚΑΛΟΠΑΤΙΩΝ ΕΠΙ ΤΟ ΥΨΟΣ ΤΟΥ ΚΑΘΕ ΣΚΑΛΟΠΑΤΙΟΥ. ΟΤΑΝ Η ΣΚΑΛΑ ΑΝΕΒΑΙΝΕΙ ΕΧΟΥΜΕ ΟΤΙ ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΤΙΚΩΝ ΡΗΤΩΝ ΕΙΝΑΙ ΘΕΤΙΚΟΣ ΡΗΤΟΣ ΚΑΙ ΟΤΑΝ Η ΣΚΑΛΑ ΚΑΤΕΒΑΙΝΕΙ ΠΑΙΡΝΟΥΜΕ ΟΤΙ ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ ΡΗΤΩΝ ΕΙΝΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΣ ΡΗΤΟΣ 

ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΜΙΚΡΟΠΕΙΡΑΜΑ  ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΕΝΟΣ ΛΕΩΦΟΡΕΙΟΥ ΠΑΝΩ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ, ΠΟΥ ΚΑΘΟΡΙΖΕΤΑΙ  ΑΠΟ  ΒΕΛΗ  ΠΟΥ  ΠΑΡΙΣΤΑΝΟΥΝ ΤΟΝ ΙΔΙΟ ΑΚΕΡΑΙΟ ΚΑΙ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΟΥ ΜΕΤΑΤΡΕΠΕΙ ΤΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ  ΔΥΟ ΑΚΕΡΑΙΩΝ   ΣΕ ΠΡΟΣΘΕΣΗ Ή ΑΦΑΙΡΕΣΗ  ΙΔΙΩΝ ΟΜΟΣΗΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΝΑ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΤΕ ΟΤΙ ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 2 ΟΜΟΣΗΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΕΙΝΑΙ ΘΕΤΙΚΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΟΤΙ ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ  ΕΙΝΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ.

ΕΞΗΓΟΥΜΕ ΤΗ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΤΕΧΝΙΚΗ

ΟΤΑΝ ΓΡΑΦΟΥΜΕ (+2) . (+5)=(+5)+(+5)=5+5=10 (ΠΡΟΣΘΕΤΟΥΜΕ 2 ΦΟΡΕΣ ΤΟ+5)

                               (+5) . (+2) = (+2)+(+2)+(+2)+(+2)+(+2)=2+2+2+2+2=10 (ΠΡΟΣΘΕΤΟΥΜΕ 5 ΦΟΡΕΣ ΤΟ +2 )

                               (+2) . (-5)=  +(-5)+(-5)=-5-5 =-10 (ΠΡΟΣΘΕΤΟΥΜΕ 2 ΦΟΡΕΣ ΤΟ -5)

                               (+5) . (-2) = + (-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)=-2-2-2-2-2=-10 (ΠΡΟΣΘΕΤΟΥΜΕ 5 ΦΟΡΕΣ ΤΟ -2)

                               (-2) .(-5) = -(-5)-(-5) =5+5=10 ( ΑΦΑΙΡΟΥΜΕ 2 ΦΟΡΕΣ ΤΟ -5, Ή  ΠΡΟΣΘΕΤΟΥΜΕ 2 ΦΟΡΕΣ ΤΟ 5)

                                (-5) . (-2) =-(-2)-(-2)-(-2)-(-2)-(-2)=2+2+2+2+2=10 (ΑΦΑΙΡΟΥΜΕ 5 ΦΟΡΕΣ ΤΟ -2,

                                                                                                                        Ή ΠΡΟΣΘΕΤΟΥΜΕ 2 ΦΟΡΕΣ ΤΟ +2)

ΣΕ ΑΥΤΗ ΤΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΚΑΛΕΙΣΤΕ ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΤΕ ΤΑ ΚΟΥΤΙΑ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΟΥΝ ΜΙΑ ΠΥΡΑΜΙΔΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΖΟΝΤΑΣ ΚΑΘΕ ΦΟΡΑ ΔΥΟ ΡΗΤΟΥΣ ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΤΟΠΟΘΕΤΗΜΕΝΟΙ ΣΕ ΔΥΟ ΚΟΥΤΙΑ ΣΤΗ ΒΑΣΗ ΤΗΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΕΙΤΕ ΤΟ ΡΗΤΟ ΠΟΥ ΠΑΡΙΣΤΑΝΕΙ ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΤΟΥΣ ΚΑΙ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΤΟΠΟΘΕΤΗΜΕΝΟΣ  ΣΕ ΚΟΥΤΙ ΠΟΥ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΑ ΔΥΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ ΚΟΥΤΙΑ.  ΣΥΝΕΧΙΖΕΤΑΙ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΜΕΧΡΙΣ ΟΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΕΤΕ ΤΟ ΡΗΤΟ ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΤΟΠΟΘΕΤΗΜΕΝΟΣ ΣΤΗ ΚΟΡΥΦΗ ΤΗΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ

ΣΕ ΑΥΤΗ ΤΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΚΑΛΕΙΣΤΕ ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΤΕ ΤΑ ΚΟΥΤΙΑ  ΜΕ ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΥΟ ΡΗΤΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΟΠΟΥ Η ΑΡΙΣΤΕΡΗ ΚΑΘΕΤΗ ΣΤΗΛΗ ΚΑΙ Η 1η ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΠΑΡΙΣΤΑΝΟΥΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΕΝΟΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΡΗΤΩΝ

ΣΕ ΑΥΤΗ ΤΗ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΡΗΤΩΝ , ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΕΙΣ ΡΗΤΩΝ

ΣΕ ΑΥΤΗ ΤΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΚΑΛΕΙΣΤΕ ΝΑ ΕΠΙΛΥΣΕΤΕ  ΑΠΛΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ 

ΣΕ ΑΥΤΗ ΤΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΕΤΕ ΤΑ ΠΗΛΙΚΑ ΣΕ ΕΝΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΟΠΟΥ Η 1η ΚΑΘΕΤΗ ΣΤΗΛΗ ΣΥΜΒΟΛΙΖΕΙ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΠΟΥ ΠΑΙΡΝΕΙ Ο ΔΙΑΙΡΕΤΕΟΣ ΚΑΙ Η 1η ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΣΥΜΒΟΛΙΖΕΙ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΠΟΥ ΠΑΙΡΝΕΙ Ο ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ

ΣΕ ΑΥΤΗ ΤΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΕΤΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΠΟΡΕΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ.

Α . Β + Α . Γ= Α . ( Β + Γ)

Α . Β -  Α . Γ = Α . ( Β - Γ )

ΟΠΟΥ Α, Β, Γ  ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ  ΠΟΥ ΠΑΡΙΣΤΑΝΟΥΝ ΣΤΗ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΥΣ.

Το μικροπείραμα στηρίζεται στο γεωμετρικό μοντέλο της επιμεριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού ως προς τη πρόσθεση με φυσικούς αριθμούς . Δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα με ίδιο πλάτος α και μήκη β, γ τοποθετούνται το ένα δίπλα στο άλλο ώστε να εφάπτεται η κοινή τους πλευρά με το ίδιο πλάτος α. Το εμβαδόν του μεγάλου ορθογωνίου που σχηματίζεται μετά τη τοποθέτηση {  α * ( β + γ )  },

ισούται με το  άθροισμα των εμβαδών των δύο επιμέρους ορθογωνίων { α * β + α * γ }

α * ( β + γ ) = α * β + α * γ

Το μικροπείραμα στηρίζεται στο γεωμετρικό μοντέλο της επιμεριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση με φυσικούς αριθμούς. Δύο ορθογώνια έχουν ίδιο πλάτος α και μήκη α, β .  Μέσα στο μεγαλύτερο ορθογώνιο τοποθετείται το μικρότερο ορθογώνιο έτσι ώστε να άχουν ίδιο πλάτος α . Τότε αν από το εμβαδόν του μεγαλύτερου ορθογωνίου ( α * β) αφαιρεθεί το εμβαδόν του μικρότερου ορθογωνίου ( α * γ ) , θα βρεθεί το εμβαδόν του εναπομείναντος μετά τη τοποθέτηση ήδη σχηματισμένου ορθογωνίου  α * ( β - γ ) .

 α * ( β - γ ) = α * β - α * γ

Σε αυτό το μικροπείραμα μέσω του  εικονικού παραδείγματος της παράταξης μαθητών σε κατάλληλο αριθμό σειρών ( δυάδες, τριάδες, τετράδες ,  πεντάδες, εξάδες, επτάδες ) εισάγονται οι έννοιες της τέλειας και ατελούς ευκλείδιας διαίρεσης καθώς και του Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών.