Περιγραφή Μαθήματος
- Το μάθημα δεν διαθέτει περιγραφή -
$$\fcolorbox{magenta}{yellow}{$\text{ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΔΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ\\ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Β' ΒΑΘΜΟΥ (ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ)}$}$$
(Α) ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
$$\fcolorbox{magenta}{cyan}{$\mathbf{ αx^2 +β\cdot x + γ \stackrel{\text σχέση (1) }{=} 0 \\ α\neq 0 \quad α, β,γ \in R}$}$$
Λύνουμε τη παραπάνω εξίσωση σχέση (1)$$\mathbf {x^2 + \frac{β}{α} + \frac{γ}{α} = 0\Leftrightarrow}$$$$\mathbf {\Bigg(\underbrace{x^2 + 2\cdot\frac{β}{2α} + \left(\frac{β}{2α}\right)^2}_{\text{ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ } }\Bigg) - \left(\frac{β}{2α}\right)^2 +\frac{γ}{α} = 0\Leftrightarrow}$$$$\mathbf {\Bigg(x + \frac{β}{2α} \Bigg)^2 - \frac{β^2}{4α^2} +\frac{γ}{α} = 0\Leftrightarrow}$$$$\mathbf {\Bigg(x + \frac{β}{2α} \Bigg)^2 - \frac{β^2 -4αγ}{4α^2} = 0\Leftrightarrow}$$$$\mathbf {\Bigg(x + \frac{β}{2α} \Bigg)^2 - \Bigg(\frac{\sqrt{β^2 - 4αγ}}{2α}\Bigg)^2 = 0\Leftrightarrow}$$ΘΕΤΟΥΜΕ $$\fcolorbox{blue}{pink}{$\mathbf{\Delta = β^2 - 4\cdot α \cdot γ \quad \text{Οπότε παίρνουμε}\\ \Bigg(x + \frac{β + \sqrt{\Delta}}{2α} \Bigg)\cdot \Bigg(x + \frac{β - \sqrt{\Delta}}{2α} \Bigg) = 0}$}$$ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣΒήμα 1: Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα$$\fcolorbox{blue}{pink}{$\mathbf{\Delta = β^2 - 4\cdot α \cdot γ}$}$$Βήμα 2: Εξετάζουμε τη διακρίνουσαΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 : $$\mathbf{\Delta > 0}$$Η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες:$$\fcolorbox{magenta}{cyan}{$\mathbf{\Delta > 0 \quad \text{τότε}\quad x_{1,2} = \frac{-β \pm \sqrt{\Delta}}{2α}}$}$$ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 : $$\mathbf{\Delta = 0}$$Η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα:$$\fcolorbox{magenta}{cyan}{$\mathbf{\Delta = 0 \quad\text{τότε}\quad x_{1,2} = \frac{-β}{2α}}$}$$ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 : $$\mathbf{\Delta < 0}$$$$\fcolorbox{magenta}{cyan}{$ \mathbf{\Delta < 0\\ \text{τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες}}$}$$$$\fcolorbox{magenta}{cyan}{$\text{(Β) ΕΧΟΥΜΕ 3 ΕΙΔΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ}$}$$$$\fcolorbox{blue}{pink}{$\mathbf{(Β1)\quad β\cdot x + γ = 0 \\ α = 0, \quad β\neq 0 \quad β,γ \in R \\ \text{Οπότε προκύπτει η ρίζα}\quad x = -\frac{γ}{β}}$}$$$$\fcolorbox{blue}{beige}{$\mathbf{(Β2)\quad α\cdot x^2 + β\cdot x = 0 \\ γ = 0,\quad α\neq 0 \quad α, β \in R \\ \text{Οπότε προκύπτουν οι ρίζες}\\ x = 0 \quad ή \quad x = -\frac{β}{α}}$}$$$$\fcolorbox{blue}{yellow}{$\mathbf{(Β3)\quad α\cdot x^2 + γ = 0\\ β = 0, \quad α\neq 0 \quad α, γ \in R\\ \text{Οπότε προκύπτει}\quad x^2 +\frac{γ}{α}=0}$}$$Διακρίνουμε εδώ 3 περιπτώσεις$$\fcolorbox{blue}{yellow}{$\mathbf{(B3_1) \quad γ=0, α\neq 0\Rightarrow x_{1,2}=0}$}$$$$\fcolorbox{blue}{yellow}{$\mathbf{(Β3_2)\quad \frac{γ}{α} >0 \Rightarrow\\ \text{δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες}}$}$$$$\fcolorbox{blue}{yellow}{$\mathbf{(Β3_3)\quad \frac{γ}{α} < 0 \Rightarrow\\ x^2 - {\sqrt{\Bigg|{\frac{γ}{α}}\Bigg|}}^2 = 0 \Rightarrow\\ x = \pm \sqrt{\Bigg|{\frac{γ}{α}}\Bigg|}}$}$$$$\fcolorbox{magenta}{cyan}{$\text{ΕΥΡΕΣΗ ΜΗ ΜΗΔΕΝΙΚΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ \\ ΓΝΩΣΤA ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΟΥΣ ΚΑΙ ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΤΟΥΣ}$}$$Έστω ότι 2 πραγματικοί άγνωστοι μη μηδενικοί αριθμοί$$\fcolorbox{magenta}{yellow}{$ a,\quad b$}$$ έχουν γνωστό άθροισμα και γνωστό γινόμενο αντιστοίχως$$ \fcolorbox{magenta}{yellow}{$ S = a + b\\P = a \cdot b$}$$ Τότε το παρακάτω τριώνυμο δίνει ως ρίζες $$\fcolorbox{magenta}{yellow}{$\mathbf{ x_1,\quad x_2}$}$$ τους αντίθετους των ζητούμενων αυτών πραγματικών αριθμών.$$\fcolorbox{magenta}{yellow}{$\mathbf{x^2 + (a +b)\cdot x + a\cdot b = 0}$} $$$$\mathbf{x^2 + a\cdot x + b\cdot x +a\cdot b =0}$$$$\mathbf{x\cdot (x + a) +b\cdot (x + a) = 0}$$$$\mathbf{(x + a)\cdot(x + b) = 0} $$$$\fcolorbox{magenta}{yellow}{$\mathbf{x_1 = -a\quad ή \quad x_2 = -b}$} $$